Казалось бы банальный вопрос, но многие не знают ответа на него. Чесно говоря, я тоже не знал. 🙂
На nix-ах делается следующим образом.

Открываем файл /etc/my.cf и описываем в него следующее:

[mysqld]
...
log-queries-not-using-indexes
log=/var/log/mysql/mysql-queries.log
log-error=/var/log/mysql/mysql-errors.log
log-slow-queries=/var/log/mysql/mysql-slow-queries.log
...

Файлы могут сами не появится, потому лучше их создать и выдать права самому.

touch /var/log/mysql/mysql-queries.log
touch /var/log/mysql/mysql-errors.log
touch /var/log/mysql/mysql-slow-queries.log
chown mysql:mysql /var/log/mysql/mysql*
chmod 640 /var/log/mysql/mysql*

Теперь осталось перезапустить сервис:
service mysqld restart

Вот и всё. 🙂